Deducción del Micrómetro Micrométrico y Angular

Introducción

En este artículo mostraré cómo deducir las ecuaciones que nos permiten calcular la Separación Angular a través de mediciones hechas con el Micrómetro Cronométrico (ref 1,2,3); en la literatura astronómica aparece una sola ecuación aunque, como veremos, estrictamente hablando en realidad son cuatro ecuaciones. También presentaré los pasos que me permitieron obtener las ecuaciones del Micrómetro Angular (ref. 3) en el año 1991.

Sin embargo, no pretendo presentar un tratado matemático riguroso, sino que simplemente deseo explicar cómo fueron obtenidas estas fórmulas con la ayuda de las herramientas elementales del Álgebra y de la Trigonometría.

Herramientas

Usaremos las siguientes relaciones trigonométricas:

1. La Regla del Seno: sean "A" y "B" ciertos ángulos, contenidos por dos lados adyacentes de un triángulo, y sean "a" y "b" los lados opuestos a estos ángulos. Entonces, en Trigonometría Plana, la Regla del Seno presenta la siguiente forma (ver Fig 1):

      ( Eq 1 )

Recordemos que, en referencia al cielo, nosotros usamos únicamente ángulos, no sólo para definir el Ángulo de Posición (PA), sino también para la Separación Angular (AS), aunque la AS expresa una longitud. Pero como el ángulo AS es extremadamente pequeño, podemos referirnos a la AS como si fuera un segmento de línea recta y, en consecuencia, en una primera aproximación, podemos usar la Trigonometría Plana para nuestras deducciones, a partir de la Eq 1.

2. Algunas definiciones y equivalencias trigonométricas, que el lector reconocerá fácilmente.
3. Consideraremos un ocular con retículo con hilo/filamento simple, para facilitar la presentación.

Micrómetro Cronométrico

Con el Micrómetro Cronométrico, el PA es medido por medio de un transportador fijo al portaocular con un ocular rotante (que tiene reticulo, en nuestro caso un solo filamento). Un dial o puntero fijo al ocular rotante indica el ángulo en el transportador fijo. Por otro lado, para medir la AS, debemos tomar el tiempo que las dos componentes del sistema binario tardan en crusar el filamento del ocular reticulado, con el motor del telescopio (relojería) apagado (ver fig. 2).

Si acordamos en que "w" representa la velocidad aparente de la esfera celeste, entonces sabemos que w =15.04"/seg aproximadamente. Si consideramos un tiempo inicial T0=0 entonces, en un cierto intervalo de tiempo DT, DT=(t-t0)=(t-0)=t.

El cielo describe un cierto ángulo "a":

a = w . t

y de esta manera podemos calcular la longitud de arco recorrida por una estrella con una cierta Declinación "Dec":

q = w . t . cos(Dec)       ( Eq 2 )

Esto es básicamente lo que en Física Elemental se llama "Movimiento Circular Uniforme" , considerando que la velocidad del cielo (en rigor de la Tierra) es constante, aunque en la actualidad es sabido que esto no es cierto.

Ahora bien, con una estrella doble podemos dividir el problema en dos partes:

MC1) PA=90° o PA=270°

MC2) PA diferente de 90° o PA diferente de 270°

Veamos:

MC1) : si las dos componentes del sistema binario tienen exactamente la misma declinación, ellas se moverán en la misma dirección o trayectoria (paralela al Ecuador Celeste). El filamento del ocular reticulado se ubica en la dirección N-S; por consiguiente, podemos obtener la AS fácilmente a partir de la Eq 2:

AS = w . t . cos(Dec)       ( Eq 3 )

MC2) : si las dos componentes de una estrella doble no tienen la misma declinación, ellas se moverán en diferentes trayectorias. Entonces debemos rotar el filamento del ocular reticulado en un ángulo "A" (angulo que se mide igual que el PA), tratando de lograr que el tiempo del tránsito sea el mayor posible.

Aquí hay dos posibilidades:

(1) A = 0°

El filamento del ocular reticulado es rotado en la dirección N-S, es decir A=0°, entonces simplemente necesitamos resolver el triángulo presentado en la Fig 3:

De la Eq 2,

q = w . t .cos(Dec)

Sin embargo,

por consiguiente, reemplazamos la expresión de q en la última ecuación y arrivamos finalmente a:

      ( Eq 4 )

(2) A ≠ 0°

El filamento del ocular reticulado es rotado en cualquier ángulo. Aquí hay cuatro posibilidades, y cada una corresponde a PA localizados en diferentes cuadrantes:

1. 1er Cuadrante, la situación es 0°≤PA<90°
2. 2do Cuadrante, la situación es 90°<PA≤180°
3. 3er Cuadrante, la situación es 180°<PA<270°
4. 4to Cuadrante, la situación es 270°<PA<360°

I) De la Fig.4 tenemos la Regla del Seno:

      ( Eq(*) )

Sea a = A-90° (Fig.4)

y porque g = PA + (90°-a) (Fig.4)

reemplazamos g = PA + (90°-(A-90°))

es decir g = PA + (90°-A+90°)

g = PA - A + 180°

Entonces, reemplazando la última expresión de g y q en la Eq(*) llegamos a

pero sin(PA-A+180°) = sin(A-PA)

y sin(A-90°) = -(cos(A))

por eso, finalmente arrivamos a:

Con procedimientos similares al descripto en (i), obtenemos las otras tres ecuaciones. Con la intención de ser breve, sólo se muestra el resultado final para los casos restantes:

I)

      ( Eq 5 verificada )

II)

      ( Eq 6 )

III)

      ( Eq 7 )

IV)

      ( Eq 8 )

Observaciones:

1. El caso MC2, donde A=0°, es un caso particular de cualquiera de las ecuaciones de mC2, donde A≠0°.
2. Podemos sintetizar estas cuatro ecuaciones simplemente tomando el valor absoluto de cualquiera de ellas.

Micrómetro Angular

El objetivo principal que me propuse, cuando inventé el Método del Micrómetro Angular en 1991, fue que la AS sea independiente de la Declinación del sistema binario y de la rotación de la Tierra. Si Usted desea los detalles completos de cómo implementar el Método del Micrómetro Angular, por favor consulte la ref.3.

Podemos resumir el Método del Micrómetro Angular diciendo que el PA es obtenido de la misma manera que con el Micrómetro Cronométrico. Para la AS, por otro lado, usando el transportador, debe medirse otro angulo llamado "S". Esto consiste en mover la componente A a través del centro del campo en la dirección E-W o N-S (de acuerdo a las reglas que doy en la Tabla 3 en la pagina 18 de mi artículo previo en DSO #30, ver ref. 3 ), hasta que la componente B toque el borde del campo del ocular reticulado (ver fig.6). También debemos conocer con gran presición el "radio del campo del telescopio" (R), el cual es igual a la mitad del campo verdadero de visión del ocular reticulado.

El proceso para encontrar la fórmula final se divide en dos partes, MA1 y MA2:

MA1) con la componente A en el centro del ocular reticulado, aplicamos la Regla del Seno al triángulo mostrado en la Fig. 5:

Pero C=90° , entonces sin(C)=sin(90°)=1, o sea sin(C)=1, y así

Cómo obtenemos el valor del lado "a" ?, veamos el paso MA2:

MA2) es aquí donde usamos el "Método Angular": después de medir el PA de la componente B, el cual está en el 1er cuadrante en nuestro ejemplo, rotamos el filamento del ocular reticulado en la dirección E-W (el cual es una función del PA, como se muestra en la tabla 3 de la pag 18 de la ref. 3), y movemos a la componente A a lo largo de filamento del retículo orientado en la dirección E-W hasta que la componente B toque el borde del campo de visión (ver fig.6). Ahora obtenemos un nuevo triángulo, mostrado en la Fig. 6, al cual también le aplicamos la Regla del Seno:

Pero el ángulo C mide 90°, o sea sin(C)=sin(90°)=1, es decir sin(C)=1.

Por consiguiente,

Y arrivamos a a = sin(S) . R

Reemplazando esta ultima expresión en la ecuación obtenida en MA1), finalmente arrivamos a:

      ( Eq 9 )

Referencias

1. Ronald C. Tanguay, "The Double Star Observer´s Handbook", 1998.
2. William T. Geertsen, "Measurements of Double Stars Using the Chronometric Micrometer", Double Star Observer, Fall 1999 (Vol.5, Nº 4), pp. 9-15 ( DSO #19).
3. Alejandro Eduardo Russo, "A New Visual Method of Measuring Binary Stars", Double Star Observer, May/June 2002 (Vol.8, Nº3), pp.13-19 (DSO #30).